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数学
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自明な体について考えるスレ
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0+0=0
0-0=0
0*0=0
0/0=0
さぁいっしょにかんがえよう - コメントを投稿する
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良スレ保守
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そんなに知識をひけらかしたいのか？
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1元体についてでひけらかす程の知識が存在するのか？
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絶対数学age
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私が何をした…
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俺が以前3年ほどかけて考えたときは
自明な体にはあまり意味は無い
という驚くべき結論に至った。
「あまり」となってるのは、「少しは意味がある」という意味でなく、
「まったく意味がない」と言い切れるところまで達しなかったからだ。 -
K={0}とするとK[[x]]が体になるな。
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しかしそれも1元体になってしまう
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スレ違いだけど、自明な体ってなんか語感がエロいよね。
あたしたちってあってないの？
からだならいっこでいいのに
あー だきあったらこんがらがっちゃうよね のうでなんかわかんないよ -
糞スレ保守
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. ∧＿∧ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
（；´Д｀）＜ スンマセン、直ぐに片付けます
-=≡ / ヽ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
. /| | |. |
-=≡ /. ＼ヽ／＼＼_ ｒ;;;;;ノヾ
/ ヽ⌒)==ヽ_）= ﾋ‐=r=;'
-= / /⌒＼.＼ || || ヽ二/ どこへ行こうというのかね？
／ ／ > ） || || ( つ旦O
/ / / ／＿||＿ || と＿)＿) ＿.
し' （＿つ￣(_））￣ (.)）￣ (_））￣(.)）
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見事なまでに
0/0＝0はおかしいわけだが -
>>15
除法（乗法の逆演算）が
「a、bにかかわらず「a*x=b」を満たすxが１つしかないとき、x=b/a と書く」なら
0*x=0を満たすxは0しかないのだから
一応成立するといえなくもない気もする -
自明な体の性質は奇妙な物が多いのだ
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体の公理から0≠1は外すの？
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だってそれは自明な体を除く為の公理だもの
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>>19
つまらないツッコミを入れてすまなかった -
Z/2Z を自明な体って言うのじゃないのですか?
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そりゃ単なる有限体じゃ
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>>22
1と0からなる体なわけですが、 -
0*x=0を満たすxは0しかないの?
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>>25
「体」 {0} では、x に入りうるものがもともと 0 しかない -
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群と環は１４：２１−１４：５３に落ちた。
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ならばこのスレで語ろうか
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age
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自明な体上のベクトル空間ってどうやって考えればいいの？
任意の元xに対してx=1*x=0*x=0となるから
一次元ベクトル空間しか存在しないような気が自分はするけど、これで合ってる？ -
>>35
-∞次元じゃなくてか？ -
0次元じゃないの?
なんで-∞? -
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一次元のベクトル空間には [0]
二次元のベクトル空間には[0,0]
三次元のベクトル空間には[0,0,0]
とそれぞれk＞0次元のベクトル空間には元が1＾k個つまり1個のみ存在する。
これらは全て体の元0と同一視できるものである。
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>>40
はい。反省します -
自明な体は代数閉体であり、その代数閉包は自分自身と一致する!
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驚くほどに面白い結果が無いな
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自明な体を係数とするホモロジ-群は?
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>>45
素朴に考えて、全て｛0｝だろ。 -
自明な体上の一変数n次多項式はただ1つのみ存在し
(0x+0)^n = 0x^n + 0x^(n-1)+...+0x+0
に等しい。 -
線形代数について：
自明な体を要素とするn次行列を考えると、それは唯一あり零行列である。
自明な体を要素とする行列は、全て可逆であり、常に逆行列が存在する。
自明な体を要素とする行列のジョルダン標準型も、零行列である。
自明な体を要素とする行列の固有ベクトルは1つしかなく、それは零ベクトルである。
固有値は完全縮退しており、その値は0である。 -
自明な体上の多項式について、微分を考える。
変数xについての微分作用をDと書くと、 D0＝0 、Dx＝0
と定義し、ライプニッツル-ル D(fg)＝(Df)g+f(Dg)を満たすことを
要求する。
nが0でなければ、
Dをn次の多項式(唯一)に作用させると(n-1)次の多項式(唯一)を与える。
また、Dの逆作用素も容易に決まり、多項式に対しては一意である
ことがわかる。
xの形式冪級数環に関して、xの冪級数が有限級数でなければ、
0+0x+0x^2+0x^3+......
とこれも唯一のものになる。
xの無限冪級数にDを作用させても不変であることから、
Dの固有関数であることが分かる。これを形式的に
Exp(0x)とかく。D Exp(0x)＝Exp(0x)である。
Exp(0x)＝0+0x+0x^2+0x^3+....
指数関数Expに関しては、指数関数の加法定理
Exp(y+z)＝Exp(y)Exp(z)
が成り立つ。
特殊値に関してはExp(0)＝0である。 -
かやうにしておどろくほどすらすらと結果が得られるのである。
これは自明な体の便利な点であらう。 -
>>50
便利な点と云うより、トリビアルな店だと思った｡ -
自明な体上の一変数有理関数体について、
これは多項式環の商体であるから、
f(x)、g(x)を自明な体上の一変数多項式とするとき、
f(x)/g(x)と書かれる筈である。
f(x)、g(x)の次数を m, n とするとき,
m>=n であれば,f(x)/g(x) は唯一の(m-n)次多項式と一致する.(証明略)
m<n の時は,g(x)/f(x)が唯一の(n-m)次多項式と一致するので,
それの逆元1/(n-m次多項式)として形式的に定義する.
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自明な体は、1が整数の素数からは除外されているのと同じような感覚で、
通常は体の仲間から除外されている。可哀想な体だ。 -
日本数学会自明体分科会
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自明な体上のガロア群は、自明な群であり、
容易にわかるようにガロア対応が成り立つ。 -
自明スパイラルから抜け出したい…
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体の任意の元について、うんぬん、という命題はつねに、
体の全ての元について、うんぬん、と置き換えてよい。
体の元が存在して、しかじか、という命題はつねに、
体の任意の元について、しかじか、が成立すると言い替えられる。
これも便利な性質であろう。 -
0＾0って０すか？
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>>58
1です。あるいは未定義です。 -
自明な体に置いては、0 の任意の巾は、指数が正負任意の整数n
に対して、 0＾n は 0 になります。
冪乗に関しては通常の可換な体でも成り立つ関係
x＾(a+b)= x^(a) x^(b)
(xy)＾(c) = x^(c) y^(c)
が成り立ちます。ここで、a,b,cは任意の整数であり、xやyは
体の可逆な元であるとします。
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あっ！
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自明な体に置いては、加算と乗算を任意に取り換えても演算の結果は
変わらない。実に便利な体である。 -
自明な体は
０のみである
へぇーへぇーへぇー -
自明な体上の代数曲線は常に整数点を1つ持つ(重複度を考慮していない場合)。
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自明な体は、試験問題には出ないであろう。(予想)
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自明な体を笑うものは自明な体に泣く、ということはないであろう。（予想）
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まず、これを読め。
話はそれからだ。
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《インド人が発明したゼロ》0割る0の数学的意味は？奇妙な数ゼロを探って……
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自明ではない体は、どのぐらいあるのだろうか?
可算ではない体には、どれだけ種類があるの? -
可算な體は、自明な體を除けば、
数體の場合なら
標数0の場合は有理数体かp-進體あるいはp-進體の有限次代数拡大體、
標数が0でない場合は、有限體、有限體の有限次代数拡大體。
超越元を有限個持つ場合には、
可算な数體を係数に持つ多項式環の商体ではないかな。
まだあるのかな?
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Re:>>70 何故最後の体だけ旧字体ではないのだ？
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そんなことより漏れにF_1を教えてくれ！
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黒山人重先生に訊け！
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数体の場合で、標数0で有理数体Qの有限次代数拡大体の場合が抜けてるね。
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>>73 金子正信先生でもよい。
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自明な体などというものがあって、奥深い事実がいろいろと知られている
ということを、これまでまったく知らなかった、己の不明に恥入る許である。 -
795
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自明な体はユークリッド聖域であり、UFDである。
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群の自明な体上の線形表現は、恒等表現のみに限られる。
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>>80とは関係なく適当に考えてみた。
A = {0,1,2} ; a,b ∈ A ; +,*:A → A
0+0=0;1+1=1;0+1=1;1+2=1;0+2=2;2+2=2;a+b=b+a;a+0=a;a+1=1
0*0=0;1*1=1;0*1=0;1*2=2;0*2=0;2*2=2;a*b=b*a;a*1=a;a*0=0 -
>>81に、もう一つなんとなく関数を導入。
not(1)=0、not(0)=1、not(2)=2
De Morganの法則(たぶん、成り立つ)
not(a+b) = not(a)*not(b)
not(a*b) = not(a)+not(b) -
330
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>>84
81のは自明な体に見える -
>>81の{0,1,2}の加法の逆元が存在しない場合がある。
2+a=0となるようなaが存在しない。そうすると加法においてアーベル群じゃない。
http://ja.wikipedia..../%E4%BD%93%E8%AB%96#体の定義
による定義から外れるので体じゃない。。。と思う浪人生。
{0,1}の場合は1+1=0とするのね。ブール代数ってのとは違うのね。
納得。有限体GF(n)って必ず存在するの？馬鹿な僕に教えて大学のお兄さん。 -
ついでにage！
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>有限体GF(n)って必ず存在するの？
GF(n)(位数nの有限体)が存在するための必要十分条件はnが素数のベキであること。
そして存在するときは同型を除いて一意的。 -
（ ・∀・）つ旦 ﾍｪー
いいこと聞いた。ありがとう。大学(院)?のお[兄姉]さん。 -
有限体の乗法群が巡回群になる事の証明って簡単に出来ないんですかね
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>>91
（＊）有限アーベル群の各元の位数の最大値をNとすると、すべての元の位数はNの約数になる。
を認めれば簡単。
（＊）は「有限生成アーベル群の構造定理」からすぐ出るが、単独で示すこともできたはず。
たしかアルティン「ガロア理論」に書いてあった。 -
自明な体って何しても0になればOK？
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>>91
Step1. G：有限群 が次の性質☆を持つならばGは巡回群である。(単位元は1とかいた)
☆：∀k∈N ,#{ g∈G | g^k=1}≦k
<proof>有限群Gが☆を満たすとする。
A(k)={ g∈G | gの位数はk} B(k)={ g∈G | g^k=1}
とおくと #G=Σ[kは#Gの約数]#A(k) ,A(k)⊂B(k) ,#B(k)≦k である。
今 #A(k)≠0 とすると 位数kの元h∈G が存在する。
hの生成する部分群をHとおくと、H⊂B(k) であり k=#H≦#B(k)≦k
よって B(k)=H であり A(k)⊂H 従って #A(k)=φ(k) (φ：オイラー関数 i.e. φ(k)=ｋと互いに素なｋ以下の自然数の個数)
以上より #G=Σ[kは#Gの約数]#A(k)≦Σ[kは#Gの約数]φ(k)=#G がわかり
∀k：#Gの約数 ,#A(k)=φ(k) 特に #A(#G)=φ(#G)≠0 つまり Gは巡回群となる。
Step2. F：体 F*=F-{0}：Fの乗法群 とする F*の有限部分群Gは巡回群である。
(特にF：有限体 ⇒F*：巡回群)
<proof>
∀k∈N ,X^k-1=0 のFにおける根の数はk以下 従って #{ x∈G | x^k=1}≦#{ x∈F* | x^k=1}≦k
よってStep1より Gは巡回群 -
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