リーマン面

リーマン面

人の顔に張り付いて取れなくなる特徴がある面です

>>2
ムジュラか！w

複素解析スレがすでにあるだろ

1851/11/14

古すぎる

リーマンが学位論文を提出した日

リーマン面 単行本 – 1974/5/1
H.ワイル (著), 田村 二郎 (翻訳)
4.2 5つ星のうち4.2 3個の評価

リーマン面 (共立講座 現代の数学) 単行本 – 1987/10/1
及川 広太郎 (著)

リーマン面 (1976年) (サイエンスライブラリ―現代数学への入門〈15〉) − – 古書, 1976/9/1
戸田 暢茂 (著)

リーマン面 (1978年) (共立全書〈221〉) − – 古書, 1978/7/1
倉持 善治郎 (著)

リーマン面の理論 POD版 (数学全書) 単行本（ソフトカバー） – 2007/7/1
中井 三留 (著)

リーマン面の理論 単行本（ソフトカバー） – 2019/11/29
寺杣友秀 (著)

Simon Donaldsonの本はどうですか？

Riemann Surfaces (Oxford Graduate Texts in Mathematics) ペーパーバック – イラスト付き, 2011/5/19
英語版 Simon Donaldson (著)

Lectures on Riemann Surfaces (Graduate Texts in Mathematics) ハードカバー – イラスト付き, 1981/11/2
英語版 Bruce Gilligan (翻訳), Otto Forster (著)

Compact Riemann Surfaces
(Lectures in Mathematics. ETH Zuerich) ペーパーバック – 2013/10/4
英語版 Raghavan Narasimhan (著)

Introduction to Riemann Surfaces ハードカバー – 1957/12/1
英語版 George S. Springer (著)

現代数学の源流〈下〉抽象的曲面とリーマン面 単行本 – 2009/2/1
佐武 一郎 (著)

Riemann 面への入門
松尾 信一郎
2017 年 12 月 13 日 卒業研究ガイダンス

リーマン面と代数曲線 (共立講座 数学の輝き 2) 単行本 – 2015/6/10
今野 一宏 (著),

代数曲線の本はないの？

河田敬義

小木曽

Walker

Miranda

Fulton

書籍名 Riemann Surfaces: Lectures
著者 Lipman Bers
出版社 New York University, Institute of Mathematical Sciences, 1958
書籍の提供元 ペンシルベニア州立大学
デジタル化された日 2009年8月25日
ページ数 518 ページ

https://i.imgur.com/jeAKgwA.jpg

リーマン面について3回の集中講義をしてきた。
キャンパスに入るとき
パスポートを提示する必要があった。

Siuは1979年に北京で16回の講義をした。

最近の目玉はヒッチン理論らしい

非線形ディリクレ問題

Saff-Totikのポテンシャル論

どこかに書評はないかな

Roydenのコンパクト化における
Evans-Selberg-Kuramochi-Nakai potentialの
境界挙動が重要

あけおめ

あけましておめでとうございます
不出来ですが今年もお手柔らかによろしくです

やっと
Evans-Nakai potentialと呼ぶべきものが
見つかった

グリーン核の線形結合

リーマン面の分類理論と「遠木の例」について一言

解析関数の理論において、
開リーマン面を種々の関数族の存在、非存在によって
分類する研究は、正則写像の境界挙動への理解を大いに深めた。
この分類が一段落したのはO_{HB}≠O_{HD}を示した
遠木の例であることは有名である。

Green関数が存在しないリーマン面の族を$O_G$と記す。分類理論では、開リーマン面$R$は$R\in O_G$のとき\textbf{放物型である}、または\textbf{零境界}を持つといい、$R\in O_G$のとき、\textbf{双曲型}である、または\textbf{正境界}を持つという。$O_G$を真に含む族は7種類に分類されるが、そのうち最大の$O_{ABD}$\footnote{有界でDirichlet積分が有限な正則関数が定数に限る族}は$O_{AD}$\footnote{Dirichlet積分が有限な正則関数が定数に限る族}に一致し、$O_{HD=}O_{HBD}\footnote{有界でDirichlet積分が有限な調和関数が定数に限る族}$なので、実質的には5種類である。
$R\in O_G$ならば$R$上の正値優調和関数は定数に限り、逆も正しい\footnote{大津賀の定理}(cf. [Otk])。言い換えれば、$R\in O_G$は$R$の理想境界のポテンシャル論的な「薄さ」と同等であり、これが「零境界」の由来と言ってよい。いわば面の零境界をさらに細かく区別して結実したものが、今日残されている分類理論である。

訂正
細かくーー＞木目細かく

その発端はSarioの学位論文だったようだが
結果はMartinやRoydenらによる種々のコンパクト化の観点から
明快にまとめられ、その高次元化もなされた。

具体的には、境界における調和関数の挙動の解析が中心的な課題で、
そのために
零境界を持つ面上でGreen関数に代わる役割を果たすべき関数が導入された。
これは平面領域に対してEvansとSelbergが定義したものを
リーマン面上に一般化したもので、その存在は倉持[K]と中井[N]によって
証明された。

43:
修正
いわば面の零境界をさらに細かく区別して結実したものが、
ーー＞
いわば正境界を持つ面のうちで$O_G$的なものを
木目細かく区別して結実したものが、

46
修正
具体的には境界における調和関数の挙動の解析が中心的な課題で、
そのために、
%零境界を持つ面上でGreen関数に代わる役割を果たすべき関数が導入された。
EvansとSelbergが平面内のコンパクト集合で容量が0のものを特徴づけるために定義した関数がリーマン面上に一般化された。その存在は倉持[K-1,2]によって
証明され、Evans-Selbergポテンシャルと呼ばれた。

中井はその構成を拡げ、次の定理を得た。
\begin{theorem}{\rm ([N], [S-N])}　$R$を正境界
を持つ非正則面とし、$R^*$をその
\textbf{{\rm \textbf{Royden}}コンパクト化}、
$I(R)$を$R$の\textbf{真非正則境界}、
$G(q;p)$を$R^*\times R^*$ 上の
\textbf{一般{\rm \textbf{Green}}核}
\footnote{$R^*$、$I(R)$および$G(q;p)$ の定義は
次節を参照}とする。このとき
$\sum{a_iG(x;p_i)}$が$R$上の
{\rm Evans-Selberg}ポテンシャルであるような
$(p_i)\in I(R)^\mathbb{N}$ および
$(a_i)\in (0,\infty)^\mathbb{N} \;s.t.\;
\sum{a_i}=1 $が存在する。 \end{theorem}
以下では\textbf{Evans-Nakaiポテンシャル}と呼ぶ
この関数$\sum{a_iG(x;p_i)}$について、
分類論における位置づけよりは、
むしろMok(莫)による多変数関数論への応用と
その証明のあらましについて述べたい。

\section*{開リーマン面の非正則境界}$R$を
正境界を持つリーマン面とし、$G(x;y)$を$R$の(正値)
Green関数とする。まず定理１でいうところの
Evansポテンシャルの定義を述べ、
その後でRoydenコンパクト化$R^*$および
$R^*\times R^*$上の一般Green関数について述べる。

\begin{definition}発散点列$p_n\in R$が
非正則列$:\iff$$\exists p'\in R \;s.t.\;
\liminf{G(p_n;p')}>0$. \end{definition}

\begin{definition}$R$内のすべての非正則点列に沿って
$+\infty$に発散する調和関数を$R$上の
{\rm Evans}ポテンシャルという
\footnote{平面内の有界領域で境界が有限個の
ジョルダン曲線からなるものは
非正則列を持たないので、その上の調和関数は
すべてEvansポテンシャルであるということになるが、
以下では非正則列を持つ場合が主たる興味の対象である。}。\end{definition}



ちなみに、Evans-Selbergポテンシャルの定義は次の通り。

\begin{definition}開リーマン面$R$と
$q\in R$に対し、$q$に極を持つ$R$上の
{\rm Evans-Selberg}ポテンシャルとは、
$R\setminus\{q\}$上の調和関数$u$であって、
$q$中心の局所座標$(U,z)$に関し$u(z)-\log{|z|}$が
$U$上調和であり、かつ$R$の任意の発散点列に沿って
$u$の値が$+\infty$に
発散するものをいう。\end{definition}

\begin{definition}$R$内のすべての非正則点列に沿って
$+\infty$に発散する調和関数を$R$上の
{\rm Evans}ポテンシャルという
\footnote{平面内の有界領域で境界が有限個の
ジョルダン曲線からなるものは非正則列を持たないので、
その上の調和関数はすべてEvansポテンシャルであると
いうことになるが、以下では非正則列を持つ場合が
主たる興味の対象である。}。\end{definition}



ちなみに、Evans-Selbergポテンシャルの定義は次の通り。

\begin{definition}開リーマン面$R$と
$q\in R$に対し、$q$に極を持つ$R$上の
{\rm Evans-Selberg}ポテンシャルとは、
$R\setminus\{q\}$上の調和関数$u$であって、
$q$中心の局所座標$(U,z)$に関し
$u(z)-\log{|z|}$が$U$上調和であり、
かつ$R$の任意の発散点列に沿って$u$の値が
$+\infty$に発散するものをいう。\end{definition}

\begin{theorem}\footnote{[N100, \S 6.6]の「ポテンシャル論」の項目に、
「最後に倉持[3](=[K-2,3])はかつての予想\textquotedblleft 放物型の面上に
エヴァンズ・ポテンシャルが存在するか''に対して肯定的な答えを与えたことを
特記する。」とある。

定理１は定理２を証明するための予備的命題を一般化して、
新たにRoydenコンパクト化を用いて定式化したものである。}　開リーマン面$R$に対し

$R\in O_G$ $\iff$ $R$は
{\rm Evans-Selberg}ポテンシャルを持つ。\end{theorem}
$R=\mathbb{C}\setminus K$ ($K$はコンパクト)のときに
\textquotedblleft $R\in O_G \iff K$の対数容量=0''
を示したのが[E, Sl]であった。
これをリーマン面上の解析学を提唱したNevanlinna[Nv]の
\textquotedblleft $R\in O_G\iff$ $R$のBergman核=0''
の精神で拡張したのが定理2であるとも思える
\footnote{[O]によれば、対数容量の概念は
有界正則関数の特異点の除去可能性についての
Riemannの定理の一般化を論じた
Painlev\'eの論文[P]にある。}。

\section*{Roydenコンパクト化とGreen関数の接続}定理2から定理1への展開を促したのは、関数環を用いた$O_G$の特徴づけであった。
以下はそれを述べた[R-2]の抄訳である。\\

種数が0のリーマン面の研究においては、面を複素平面内の領域と考えたときに、それが容量が0の補集合を持つ(または零境界を持つ)と、その性質から有用な情報を取り出せることがある。リーマン面の「理想境界」は、無限種数の場合にはこのように目に見える形にはならないが、([H]で論じられたように)分類理論や面上の存在定理を論じる上で同種の情報を得るために一定の役割を果たし始めている。以下ではこの理想境界を表現する一つの手段を提案したい。

まず開リーマン面$R$上の関数のクラスとして、
区分的に滑らかな$\mathbb{C}$値有界関数$f$で
Dirichlet積分$D[f]$が有限なものからなる集合
BD を考える。BDは単位元を持つ可換環である。
BD の位相を
$$\lim_{i\to\infty}{f_i}=f\iff
\sup_i{|f_i|_{\infty}}<\infty,
f_i\to f\;(局所一様)\;\&\; \lim_{i\to\infty}{D[f_i-f]}=0$$
で定め、
$$K:=\{f\in {\rm BD};\; {\rm supp}{f}はコンパクト\}$$
とおく。このとき次が成り立つ。\\

\textbf{命題}
$\;\;R\in O_G\iff 1\in\overline{K}.$\\

BDをノルム$$\|f\|=\sup{|f|}+D[f]$$により完備化してできるBanach環\footnote{これを[S-N]では\textbf{Royden環}と呼んでいる。}は単位元を持ち可換であるので、Gelfand理論により、その極大イデアル全体のなすコンパクトな空間$R^*$上の$\mathbb{C}$値連続関数全体のなすBanach環の部分環である。$R$の点を付値写像とみなすことにより$R$は$R^*$の稠密な開集合と同一視できる\footnote{この$R^*\setminus R$を$R$の\textbf{Royden境界}という。}。$R^*\setminus R$の元で$K$を含むもの全体を$\Delta$と書く\footnote{この$\Delta$を[S-N]では\textbf{調和境界}(harmonic boundary)と呼んでいる。}。するとDirichlet問題の解は次のように定式化される。\\

$\Delta$上の任意の連続関数$f$に対し、$R^*$上の連続関数$u$で$\Delta$上で$f$に一致し$R$上で調和なものがただ一つ存在する。\\

$R$が単位円板$|z|<1$のとき、$\Delta$は円周$|z|=1$上の点に内部から収束する
点列の種々の同値類から成る。[抄訳終わり]\\

これをふまえて、[S-N]では
\textbf{Roydenコンパクト化}を次で定義している。
\begin{definition}リーマン面$R$の{\rm Royden}
コンパクト化とは、
以下の$4$条件を満たす位相空間を指す。\\
1) $R^*$はコンパクトな{\rm Hausdorff}空間である。\\
2) $R^*$は$R$を稠密な開集合として含む。\\
3) {\rm Royden}環の元は$R^*$上に連続関数として
拡張できる。\\
4) $R^*$の任意の$2$点は{\rm Royden}環の元で
分離できる。\end{definition}

\begin{theorem}\footnote{$R^*$の存在に関する[S-N]の証明は、Tychonoffの定理とStone-Weierstrassの定理を用いる直接的なものである。一意性は定義から直ちに従う。}任意のリーマン面$R$に対し、$R$の{\rm Royden}コンパクト化は$R$上恒等写像であるような位相同型を除いてただ一つ存在する。\end{theorem}

\begin{theorem}{\rm (中井の定理[N])} $R$の{\rm Green}関数$G(q;p)$は、$R^*\times R^*$から区間$[0,+\infty]$への関数$G^*$として、任意の$p\in R^*$に対して$x\mapsto G^*(x;p)$が$R^*$上で連続であるように拡張できる。　\end{theorem}
\begin{definition}$$I(R):=\{p\in R^*; G^*(x;p)\not\equiv0\}.$$
\end{definition}

定理1はこれらをふまえて成り立っている。Mok[Mk](学位論文)は定理1を用いて次を示した。
\begin{theorem}開リーマン面をファイバーとし{\rm Stein}多様体を底空間とする解析的ファイバー束は{\rm Stein}多様体である。\end{theorem}
次節ではSerreの問題にふれ、定理5の証明をスケッチしたい。

\section*{Serreの問題とMokの定理}
前節の定理5は、多変数関数論では有名な問題であるSerreの問題への一つの部分的解答である。Serreの問題とはStein多様体の構成法に関わるもので、岡潔[Ok-1,2]によるCousinの問題とLevi問題の解決、およびBehnke-Stein [B-S] とFlorack [F] による開リーマン面上のRunge型近似定理から派生した問題の一つである。
\begin{definition}$\mathbb{C}^N$の閉複素部分多様体に双正則同型な複素多様体を{\rm Stein}多様体という。\end{definition}

とても勉強になります

\begin{theorem} {\rm (cf.[Ok-2])} $\mathbb{C}^n$上の
リーマン領域が局所擬凸\footnote{局所的に可逆な正則写像
$\pi:X\to\mathbb{C}^n$が与えられた連結な複素多様体$X$を
$\mathbb{C}^n$上のリーマン領域といい、
この$X$が局所擬凸であるとは
\textquotedblleft$\forall x\in\mathbb{C}^n\;\exists $
$x$の近傍$U$ s.t. $\pi^{-1}(U)$はStein多様体''をいう。 }なら正則凸
\footnote{複素多様体$M$が正則凸$:\iff M$内の任意の発散点列に沿って
値が発散する正則関数が存在する
$\iff M$内の任意のコンパクト集合$K$に対し, 集合
$\{x\;;\;|f(x)|\leq\sup_{K}|f|\;\;\forall f\in\mathcal{O}(M)\}$は
コンパクト($\mathcal{O}(M):=\{f\in\mathbb{C}^M; fは正則\}$)}である。\end{theorem}

\begin{theorem}{\rm (cf. [G-1])}正則凸な多様体は
任意の$2$点が正則関数で分離できれば
{\rm Stein}である。\end{theorem}
\begin{theorem} {\rm ([B-S], [F])} 開リーマン面は
{\rm Stein}多様体である。 \end{theorem}

複素多様体のStein性の判定条件として、
Grauert[G-2]による次の結果は非常に有用である。
\begin{theorem}$M$は{\rm Stein}$\iff$$M$から$[0,\infty)$へのプロパーで強多重劣調和な
関数が存在する。\end{theorem}




\textbf{Serreの問題}(cf. [Sr]) 　 {\rm Stein}多様体をファイバーとし、{\rm Stein}多様体を底空間とする(複素)解析的なファイバー束は{\rm Stein}多様体か。\\

これについて、最初のうちは構造群やファイバーを限って肯定的な解答がいくつか得られた。
そのうち松島・森本の結果[M-M]はレビ問題への応用があり有名である(cf. [U])。
しかしSkoda[Sk]によってファイバーが$\mathbb{C}^2$の時に反例が示された。
この例が$\mathbb{C}^2$の解析的自己同型群の巨大さを利用したものだったので、
リーマン面だと自己同型が比較的少ないのでどうかというのが定理5の背景にあったと思われる。

定理1をふまえて示された次の命題が[Mk]における定理5の証明の要点である。

\begin{theorem}$R\notin O_G$かつ$I(R)\neq\phi$のとき、$R$上の劣調和関数で、
$Aut(R)$の作用で不変であり、
かつ任意の非正則発散列に沿って値が$+\infty$に発散するものが存在する。\end{theorem}

\small

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem[B-S]{B} H. Behnke, H. and and Stein, K., \emph{Entwicklungen analytischer Funktionen auf Riemannschen Fl\"achen,}
Math. Ann. \textbf{120} (1948), 430-461.
\bibitem[E]{E} Evans, G. C., \emph{Potentials and positively infinite harmonic functions,} Monatsheft f\"ur Math. und Physics, \textbf{43}
(1936), 419-424.

\bibitem[F]{F} Florack, H., \emph{Regul\"re und meromorphe Funktionen auf nicht geschlossenen Riemannschen Fl\"achen,}
Schr. Math. Inst. Univ. M\"nster 1948 (1948), no. 1, 34 pp.
\bibitem[G-1]{G} Grauert, H., \emph{Charakterisierung der holomorph-vollst\"andigen R\"aume,} Math. Ann. \textbf{129} (1955), 233-259.
\bibitem[G-2]{G} ||, \emph{On Levi's problem and the imbedding of real-analytic manifolds,} Ann. Math. \textbf{68} (1958), 460-472.
\bibitem[H]{H} Heins, M., \emph{Riemann surface of infinite genus,} Ann. of Math. \textbf{55} (1952), 296-317.

\bibitem[K-1]{K} Kuramochi, Z., \emph{Evans's theorem on abstract
Riemann surfaces with null boundaries,} Proc. Japan Acad. \textbf{32} (1956), 1-9.
\bibitem[K-2]{K}||, \emph{Mass distributions on the ideal boundaries
of abstract Riemann surfaces,}I. Osaka Math. J. \textbf{6}
(1956), 119-137.
\bibitem[K-3]{K}||, \emph{Mass distributions on the ideal boundaries, }II.
Osaka Math. J. \textbf{8} (1956), 146-186.
\bibitem[M]{M} Martin, R.S., \emph{Minimal positive harmonic functions,}
Trans. Am. Math. Soc. \textbf{49} (1941),137–172.
\bibitem[M-M]{M} Matsushima, Y. and Morimoto, A., \emph{Sur certains
espaces ins espaces fibr\'es holomorphes sur une vari\'et\'e de Stein,}
Bull. Soc. Math. France \textbf{88} (1960), 137-155.
\bibitem[Mk]{M} Mok, N., \emph{The Serre problem on
Riemann surfaces,} Math. Ann. \textbf{258} (1981), 145-168.
\bibitem[Mo]{M} 森明　\emph{{\rm \textbf{Riemann}}面の
分類について}(綜合報告) 数学 \textbf{5}　(1953), 42-51.

\bibitem[N]{N} Nakai, M., \emph{Green potentials of Evans type on Royden's compactification
of Riemann surfaces,} Nagoya Math. J. \textbf{24} (1964), 205-239.
\bibitem[Nv]{N} Nevanlinna, R., \emph{Eindeutige analytische Funktionen,} Grundlehren der
mathematischen Wissenschaften, vol. 46 Springer 1936.
\bibitem[N100]{N} 日本の数学100年史　下(全２冊)　岩波書店　1984.
\bibitem[Otk]{O} Ohtsuka, M., \emph{Dirichlet problems on Riemann surfaces and
conformal mappings,} Nagoya Math. J. \textbf{3}
(1951), 91-137.
\bibitem[O]{O} 及川廣太郎　\emph{函数論的零集合について}　(綜合報告)　数学　
\textbf{7} (1955-56), 161-170.

\bibitem[Ok-1]{O} Oka, K., \emph{Deuxi\`eme probl\`eme de Cousin,} J. Sci. Hiroshima Univ. (A) \textbf{9} Nr. 1 (1939), 7-19.
\bibitem[Ok-2]{O} ||, \emph{Domaines finis sans point critique int\'erieur,} Jap. J. of Math. \textbf{23} (1953), 97-155.
\bibitem[P]{P} Painlev\'e, P.,
\emph{Sur les lignes singuli\`eres des fonctions analytiques, } Gauthier-Villiars, 1887. (Ann. Fac. Sci. Toulouse \textbf{2} (1988), pp. B 1-130.)
\bibitem[R-1]{R} Royden, H. L., \emph{Harmonic functions on open Riemann surfaces,} Trans. Amer. Math. Soc. \textbf{73} (1952), 40-94.
\bibitem[R-2]{R} ||, \emph{ On the ideal boundary of a Riemann surface,} Contributions to the Theory of Riemann Surfaces Annals of Mathematics Studies, Princeton \textbf{30}, (1953), 107-109.

>>43
双曲型も$R\in O_G$になってる
性質と「薄さ」(量的)が同等というのも気になるかも

定理5ﾄﾞｺｰ?

Green関数が存在しないリーマン面の族を$O_G$と記す。リーマン面$R$は$R\in O_G$のとき\textbf{放物型である}、または\textbf{零境界}を持つといい、$R\notin O_G$のとき、\textbf{双曲型}である、または\textbf{正境界}を持つという。$O_G$を真に含む族は通常7種類\footnote{[S-N]では13種類}に分類されるが、そのうち最大の$O_{ABD}$\footnote{有界でDirichlet積分が有限な正則関数が定数に限る族}は$O_{AD}$\footnote{Dirichlet積分が有限な正則関数が定数に限る族}に一致し、$O_{HD}=O_{HBD}\footnote{有界でDirichlet積分が有限な調和関数が定数に限る族}$なので、実質的には5種類である。

定理 1 はこれらの上に成り立っている。
Mok[Mk](学位論文) は定理 1 を用いて次
を示した。

定理 5. 開リーマン面をファイバーとし
Stein 多様体を底空間とする解析的ファイ
バー束は Stein 多様体である。

次節では Serre の問題にふれ、定理 5 の証明をスケッチしたい。

\bibitem[S]{S} Sario, L., \emph{\"Uber Riemannsche Fl\"achen mit hebbarem Rand,} Ann. Acad. Sci. Fennicae Ser. A. I. Math.-Phys. 1948 (1948), no. 50, 79 pp.
\bibitem[S-N]{S} Sario, L.; Nakai, M. \emph{Classification theory of Riemann surfaces,}
Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 164
Springer-Verlag, New York-Berlin, 1970, xx+446 pp.
\bibitem[S-N-W-C]{S} Sario, L., Nakai, M., Wang, C. and Chung, L.- O., \emph{Classification theory of Riemannian manifolds,}
Lecture Notes in Math., Vol. 605
Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977, xx+498 pp.
\bibitem[S-No]{S} Sario, L. and Noshiro, K., \emph{Value distribution theory,} Van Nostrand, Princeton 1966. 347pp.
\bibitem[Sb]{S} Selberg, H., \emph{\"Uber die ebenen Punktmengen von der Kapazit\"at Null, } Avh. Norske Videnskaps Acad. Oslo I Math.-Natur \textbf{10} (1937).

\bibitem[Sr]{S} Serre, J.-P., \emph{Quelques problemes globaux relatifs
aux vari\'et\'es de Stein,} Colloque sur les
fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 1953, pp. 57-68.
\bibitem[Sk]{S} Skoda, H., \emph{Fibr\'es holomorphes \`a base et \`a fibre de Stein,}
Invent. Math. \textbf{43} (1977), 97-107.
\bibitem[T-1]{T}Toki, Y., \emph{On the classification of open Riemann surfaces,}
Osaka Math. J. \textbf{4} (1952), 191-201.
\bibitem[T-2]{T}||, \emph{On the examples in the classification of open Riemann surfaces,}
Osaka Math. J. \textbf{5} (1953), 267-280.
\bibitem[T-3]{T}遠木幸成, \emph{幾何学的函数論}　現代数学講座　共立出版　1957.
\bibitem[U]{U} Ueda, T., \emph{Pseudoconvex domains over Grassmann manifolds,}
J. Math. Kyoto Univ. 20-2 (1980), 391-394.\end{thebibliography}

話の流れから見るとSkodaの反例の記述が少ないように感じたが
検索したら出てきたからこれでいいのだろう

MokはStanford大で学位を取った直後
モンゴルに招かれ
生まれて初めて馬に乗ったそうだ

>>76
本来は
ここからCoeure-Loebの反例を経て
多様体上のLevi問題へとつながる

倉持本の最終章は被覆面から
一枚をはぎ取る話

「Grossの性質」とだけあって
Grossの論文は参考文献に上がってなかったので
調べたら
1918年没で生年は不明
もしかすると
第一次世界大戦で亡くなったか

スペイン風邪で亡くなった

Introduction
Riemann’s theorem on the negligibility of isolated singularities of
bounded holomorphic functions implies Casorati-Weierstrass theorem
on the behavior of holomorphic functions near essential isolated singularities. To analyse the behavior of
holomorphic functions around　their non-isolated essential singularities for extending the Picard theorem,
function-theoretic null sets had to be studied. Robin constant and
logarithmic capacity are conformal invariants which arose in this context. Later it turned out that
they are also useful for other purposes.
Existence of Evans potentials characterizes the class of Riemann surfaces with “null-boundary”.
Construction of functions of Evans type
by Nakai has an application to a question in several complex variables.

Let $O_G$ denote the set of Riemann surfaces which do not have Green functions. By generalizing Evans' theorem, it was proved by by Z. Kuramochi [K-1,2,3] that $R\in O_G$ if and only if $R$ admits an Evans potential, which Kuramochi calls Evans-Selberg potential in view of a work of H. Selberg [Sb] as well as [E]\footnote{[Sb] appeared a little later than [E].}. As a background of Kuramochi's work, one can mention [Nv] which initiated complex analysis on open Riemann surfaces by establishing that, given a plane domain $D$, $D\in O_G$ if and only if the Bergman kernel of $D$ is trivial. M. Ohtsuka [Oht] proved that $D\in O_G$ if and only if $D$ admits a nonconstant bounded superharmonic function.

\begin{definition}If $R\notin O_G$, a divergent sequence of point $p_n$ in $R$ is called \textbf{irregular} if there exists $p'\in R$ such that $\liminf_{n\to\infty}{g(p_n,p')}>0$. \end{definition}

Extensions of Picard's theorem have been obtained in order to describe the essential singularities of meromorphic functions near the sets of null logarithmic capacity (cf. [Km]).

アップデートとかじゃなく全然違うもの書かれるんですか

特異点には大別すると、極であるか、対数的分岐点（代数的分岐点を含む）か、あるいは真性特異点というのがあると
いうことだけれども、真性特異点については、どのようなタイプのものがあって、こういう表示を持つとか
そういった精密な分類理論はないのかな。
　exp(1/x) の原点に於ける真性特異点みたいなものの他にはどういうのがあるのだろうか。

The purpose of this section is to give an account for the construction of canonical potential functions on plane domains based on the
equivalence of the logarithmic capacity and the transcendental diameter, which can be generalized on Riemann surfaces. Roughly speaking,
the notions of logarithmic capacity and transcendental diameter are
refinements of the one dimensional Hausdorff measure.
Extensions of Picard’s theorem have been obtained in order to describe the essential singularities of meromorphic functions near the sets
of null capacity. As a typical result, see [Km] for instance.

[Km] Kametani, S. On Hausdorff ’s measures and generalized capacities with some
of their applications to the theory of functions, Jap. Journ. Math., 19 (1944–48),
pp. 217-257.

正値調和関数に関する特異点の
除去可能性定理はピカール原理と呼ばれる

除外集合のパラメータ依存性が面白い

M. Nakai and T. Tada
Nagoya Math. J.
Vol. 86 (1982), 85-99

Received October 20, 1979.
Both of the authors were supported by Grant-in-Aid for Scientific Research, The
Japanese Ministry of Education, Science and Culture.

The Picard principle has been a topic of fascination for quite some time. Many of the publications are due to the first author and his collaborators. This is another interesting paper from this productive group.
Reviewer: Chung, Lung Ock

土曜日にセミナーをやっていた

土曜日の午後、時々
中井先生とすれ違った。

2. Basic results on Pn and Cn.
For the Grassmannian Gr(r, n) :=
{r − dimensional linear subspaces of Cn},
⨿L∈Gr(r,n) L is a vector bundle of rank r,
which is called the universal bundle, denoted by U(r, n) →
Gr(r, n). If E is a rank r subbundle of B × C
n, one has a map x → Ex
from B to Gr(r, n), say f, for which E = f∗U(r, n)
holds. Gr(1, n+1) is called the projective space
and denoted simply by Pn.
P1is nothing but the Riemann sphere.

調和関数は正則関数に比べて
ずっと柔軟で統制されにくくて

遠木の面

等角写像と値分布の研究集会で
特殊関数論の話を聴いてきた

今日はRiemann-Roch

因子の次数が十分高い時と
低い時に成立することを観察してから
Riemannの不等式を用いて
それらを全体に広げる。

セールの双対性定理でOK

ここから広がったのが現代流の指数定理