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数学
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分からない問題はここに書いてね443
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空海と老子はどっちの方が頭が良いですか？
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>>1
スレ立て乙
[前スレ.991] [前スレ.996] を一般化
nが奇数のとき
f(x) = {x(1-x)}^{(n-1)/2} (2x-1),
∫[0,1] {x(1-x)}^(n-1) (2x-1)^2 dx = 2 n! (n-1)! / (2n+1)!
nが偶数（n≧4) のとき
f(x) = {x(1-x)}^(n/2 -1) (2x-1)^2,
∫[0,1] {x(1-x)}^(n-2) (2x-1)^4 dx = 12 n! (n-2)! / (2n+1)!
n=2 のとき
f(x) = x(1-x),
1/30
最小ぢゃねゑだろうが… -
{3^n+2^(n+1)}/{2^n+1}
が整数となるような自然数nをすべて決定せよ。 -
>>5
10000まで調べてひとつもない。問題合ってる？ -
n=0
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ほーん
なんで答え知っとんのや
スレタイ読める？ -
答えなんて書かれてない
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n,pを自然数とするとき
np^n=p^(n+1)
のpを満たす自然数を求めよ -
無理
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>>11
p=n -
>>13 あたり
じゃあnしかないことの証明は？ -
p=0
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>>15 自然数じゃないっすね
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p=q
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>>14
スレタイ読めない文盲はﾀﾋねカス -
>>5が出来る気がしない。これ元ネタなんだろう？数オリ系？
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周長が1の円Cと、周長が1の凸n角形Knがある。ただしn≧3である。
Knの周及び内部の領域をDnとするとき、C全体をDnに含めることは不可能であることを示せ。 -
>>19
マスターデーモンらしい -
>>21
何すかソレ？ -
>>5
k:={3^n+2^(n+1)}/{2^n+1}-2=(3^n-2)/(2^n+1)が自然数となる自然数nを求めることが必要十分.
kが自然数と仮定する.
3^n-2=k(2^n+1)…?
?の両辺をmod 2で考えkは奇数2l-1.
?の両辺をmod 3で考えnは偶数2mでありl≡2(mod 3).k=6r-1とかける.
3^{2m}-2=(6r-1)(2^{2m}+1)の両辺をmod 6で考えmは偶数2s.
3^{4s}-2=(6r-1)(2^{4s}+1)の両辺をmod 5で考えr≡2(mod 5).k=30t-19とかける.
3^{4s}-2=(30t-19)(2^{4s}+1)の両辺をmod 10で考え,8≡6^s.
このような非負整数sは存在しない.よって{3^n+2^(n+1)}/{2^n+1}が整数となるnは存在しない. -
0は自然数ですよ。
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基礎論以外の分野では自然数に0は含まれないと思います
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連続関数に対しては必ず、任意の区間での定積分が定義できますか？
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できますね
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左と右どっちが大きいですかってことですね
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>>29
εの値を変化させて、最大数が1 - ε/2の集合と1/2の集合を作りますよ ってことですか？ -
1-ε/2と1/2の大きい方をaεとするということです
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A:=［0,1）に対して sup=1 となることを証明せよ
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自明ですね
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>>34
この定理を利用して証明して欲しいです
(2)の方を証明するために、さっき質問したようにaεを定義して利用しろと言われているんですが、この先が分かりません
https://i.imgur.com/Ktd7e1o.jpg -
>>14
バカ？ -
xy平面上の曲線C:y=f(x)（a≦x≦b）の長さが、ある初等関数g(x)を用いてg(b)-g(a)と表されるとする。
このとき、Cをx軸の周りに一回転させてできる曲面Dの面積も、ある初等関数h(x)を用いてh(a)-h(b)と表せることを示せ。 -
>>23
あってる？ -
>>39
f(x)は初等関数？ -
>>23
失礼しました。合ってるね。mod2、mod3、mod5で考えて必要条件出して、その後mod10で矛盾って何って思ったけど、背理法だからこういう事もあるのね。 -
sinh/hは1で y= sinuを微分するとy'= cosxの違いを教えてください
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0での微分では一致しますね
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>>44
どういうことですか？詳しく教えてほしいです -
東京大学理学部数学科は、東京大学の頂点ですか？
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>>4
整数係数だと、るじゃんどるみたいにウマい多項式はないのでしょうか -
217の一番なんですが、この一般項anはどうやって出したのですか？
等差数列と等比数列の足し算なので
an=(4n-2)+[-4(2)↑n-1]
はダメなのですか？
https://i.imgur.com/Xvj5iB6.jpg
https://i.imgur.com/Xvj5iB6.jpg -
>>49
問題も見せろや -
微分方程式の入り口に来たんだけど、一般解を求めよって言われたときに、
特異解のことも答えたほうがいいもの？ -
>>51
義務教育では1以上と習ったはずですが？ -
>>52
入り口ならそもそもないと思いますよ -
>>39は成り立たん気がする。
結局
l(x) = ∫[a,x]√(1+f’(t)^2)dt が初等関数のとき
S(x) = ∫[a,x]πf(t)^2dt も初等関数であるか？
だけどS(x)が初等関数ならf(x)^2=(S’(x)/π)も初等関数になるけど
v(x) = √(1+f’(x)^2)とおいたとき
l(x) = ∫[a,x]v(t)dtは初等関数だけど
f(x)^2 = ∫[a,x]√(v(t)^2-1)dtが楕円積分になる例なんていくらでもありそうな希ガス。 -
うーん、普通はないのかな。
微分方程式の変数分離型の最初の問題からいきなり特異解がひっついてるんだけど。
なんか理由があるんだろうな
さんきゅ -
変数分離型で分母が0になったりすると出て来るから
問題しだいだな -
>>39
x軸に垂直な断面の円周の長さは 2πf(x)
xy-平面内の幅は g '(x) dx = √{1 + f '(x)^2} dx
h(b) - h(a) = ∫[a,b] 2πf(x) g '(x) dx
= 2π{f(b)g(b)-f(a)g(a)} - ∫[a,b] 2πf '(x) g(x) dx
= 2π{f(b)g(b)-f(a)g(a)} - ∫[a,b] 2π√{g '(x)^2 - 1} g(x) dx
う〜む -
数列{an}は初項が1の隣接k項間漸化式である。例えばk=3のとき、0でない実数s,tを用いてa(n+2)=sa(n+1)+ta(n)と表される。
この数列がlim[n→∞] a(n)=+∞となるとき、a(j)>a(j-1)なるjを少なくとも何個持つといえるか。 -
>>58
＞ = 2π{f(b)g(b)-f(a)g(a)} - ∫[a,b] 2π√{g '(x)^2 - 1} g(x) dx
の最後の積分のみならず、前の方のf(x)すら初等的という仮定が使えない。
使えるのは “g(x)が初等関数” のみ。
到底できる気がしないんだけど。 -
極限です、教えてください
https://i.imgur.com/x1NFUTY.jpg -
>>64
nまたはnの式で割って無理やりk/nを作ればいい -
数列は漸化式である
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じゃ、次の数列の漸化式教えて、
8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,…
ある規則で並んでるんだけどね -
>>67
a_n = [10^n･π] - 10･[10^(n-1)･π] （小数点下n桁目)
3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4,3,3,8,3,2,7,9,5 -
>>64
√(nn+k) -n - k/(2k+1)
= k/{√(nn+k) +n} - k/(2n+1)
= k{(n+1) - √(nn+k)} / ( {√(nn+k) +n} (2n+1) )
= k(2n+1-k) / ( {(n+1)+√(nn+k)} {√(nn+k) +n} (2n+1) )
ここで 2n(2n+1)^2 < (分母) < (2n+2)(2n+1)^2
分子だけたすと Σ[k=0,2n] k(2n+1-k) = 2n(2n+1)(2n+2) /6
lim[n→∞] (与式) = 1/6, -
√2を循環少数に展開する無限級数
Σ少数第k位/2＾k を求めよ -
A=｛1-1/n:n∈Ｎ｝のminAって存在しますよね？
教授が存在しないって言ってたんですけどだれかご教授下さい -
maxの間違えでしょうね
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>>69 うぬ
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>>64
別々に計算すると
Σ[k=0，2n] {k/(2n+1) + n} = n + (2n+1)n = 2n(n+1),
Σ[k=0，2n] √(nn+k)
= {n/2 + Σ[k=1，2n] √(nn+k) + (n+1)/2} - 1/2 …… 割線
< ∫[nn，(n+1)^2] √x dx - 1/2
= 2n(n+1) + 1/6,
から
(与式) < 1/6,
Σ[k=0，2n] √(nn+k) …… 接線
> ∫[nn-1/2，(n+1)^2 -1/2] √x dx
= ∫[nn，(n+1)^2] √x dx - ∫[(n+1)^2 -1/2，(n+1)^2] √x dx + ∫[nn-1/2，nn] √x dx
> 2n(n+1) + 2/3 - {n+1 - √(nn-1/2)}/2
= 2n(n+1) + 1/6 - {n - √(nn-1/2)}/2
= 2n(n+1) + 1/6 - 1/[4{n + √(nn-1/2)}]
から
(与式) > 1/6 - 1/[4{n + √(nn-1/2)}] → 1/6 (n→∞) -
>>75
∫[nn，(n+1)^2] √x dx = [ (2/3) x^(3/2) ]_{x：nn→(n+1)^2}
= (2/3) {(n+1)^3 - n^3}
= (2/3) (3nn +3n +1)
= 2n(n+1) + 2/3,
を使った。 -
もしかして：2進数展開
-
お願い
（問）
0<a<1として、a1=a, an+1 = 4an*(1-an) として漸化式で数列anを定義する。
lim[n->∞]an = 0 のとき、aN=0 となる自然数Nが存在することを示せ。 -
>>79
定義より
a[n]<1/2 ⇒ a[n+1] = 4a[n](1-a[n]) ≧ 2a[n]
である。lim a[n]=0からn≧N ⇒ a[n]＜1/2となるNがとれるが、このときn≧Nに対して
1/2 > a[n] ≧ 2^(n-N)a[N]
により
0≦a[N]＜2^(N-n)(1/2)
を得る。n→∞とすればa[N]=0。 -
>>79
y=4x(1-x) と y=x の グラフを 0≦x≦1 の範囲で描いて、
初期値aによって、a[n]の値がどのような“動き”をするか調べてみるとよい。
多くの場合は、大きくなったり、小さくなったりと、複雑な動きをすることが判ると思う。
しかし、特徴的な動きもみられる。
あるところでa[k]が3/4近辺の値をとると、次の値も、3/4近辺になる。当然、その次も3/4近辺だ。
3/4を含むある範囲では、常にこのループに陥り、a[k]=0となる様なことはない。
つまり、あるkで、a[k]の値が、この範囲に入るような値を取ると、lim[n->∞]a[n] = 0 となる様なことはない。
また、あるところでa[k]が、1/2 という値を取ると、a[k+1]=1、a[k+2]=0、となり、n≧k+2では常にa[n]=0となる
a[k]が1/2という値を取るためには、a[k-1]が 1/2=4x(1-x) の解 つまり、(2±√2)/4 という値を取っていた場合である。
さらに、(2±√2)/4=4x(1-x) の解を取っていると、．．．． というように、ある特別な値を取っていた時に限り、
あるところでa[k]=0となり、それ以後、常に0となる。
それ以外の値の場合は、大きくなったり、小さくなったり、あるいは、3/4近辺でぐるぐる回っていたりするだけで、
lim[n->∞]a[n] = 0 等という事は起こらない。このようなことを説明すればよい。 -
補足。というか、こちらの方が、本命かもしれない。
多くの場合、
lim[n->∞]a[n] = 0
というのを見ると、a[n]≠0 だけど、 nが大きくなるにつれて、|a[n]|が
どんどん小さくなるような場合を思い浮かべると思うけど、
この問題の場合の lim[n->∞]a[n] = 0 は、そのようなケースではなく、
あるところで、a[k]が0になり、その後は、定義から常に0という場合に限られる。
何故なら、あるところで、a[k]=ε、(ただし、εは非常に小さい値で、正)、を取ったとすると、
a[k+1]=4ε(1-ε)≒4ε=4a[k] となり、前項より大きくなる。
このような性質を持っていては、
“a[n]≠0 だけど、 nが大きくなるにつれて、|a[n]|がどんどん小さくなるような場合”
の、lim[n->∞]a[n] = 0 は起こらない。実際、図を描いても確かめられる。
従って、lim[n->∞]a[n] = 0 というのは、あるところで、a[k]=0 となり、その後全ての項が0
の場合に限られると結論できる。 -
xy平面上に点A(1,0)も単位円Cがある。
点Aの、C上の点Pにおける接線lに関する対称点をBとするとき、以下の問に答えよ。
（1）P(cosθ,sinθ)とするとき、Bの座標をθを用いて表せ。
以下、θは0≦θ<2πを動くものとする。
（2）Bの座標を(s,t)とおき、点KをK(s+t,st)により定める。Kが動いてできる曲線Tの式を求めよ。
（3）Tの長さを求めよ。 -
>>48
ds=√(1+(f')^2)dx
dS=f(x)dsdθ
s=s(x)初等関数
ds=s'(x)dx
dS=f(x)s'(x)dxdθ
S(x)初等関数とは限らない
ボクの考えた最強のアホな問題 -
限らないことの証明は
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>>79
α = arcsin(√a) = arccos(1-2a)/2,
とおくと
a_n = {sin(2^(n-1)･α)}^2 = {1 - cos(2^n･α)}/2
α = (奇数)π/{2^(n0-1)} ⇔ a_n = 0 (n≧n0) -
2017年早稲田理工の5番ですが
f(x)=x^3+x^2+px+q g(x)=-1/x+1
条件：f(x)=0の任意の解αに対してg(α)もf(x)=0の解である。
当然一つの解はαでもう一つは-1/α+1
模範解答だともう一つはg(g(α))=-α+1/αになります
この後に解が同じか違うかで場合分けという流れですが
はじめの２つの解と解と係数の関係でもう一つの解を出すと-α^2-2α/α+1がでてしまいますが、これはなんでしょうか？任意解を入れれば初めの3つの解のどれかと同じになるということでしょうか？？ -
>>83
P-接線： (cosθ)x + (sinθ)y = 1,
Q (cos(2θ)，sin(2θ)) とおくと、P は BQ の中点。
B (2cosθ-cos(2θ)，2sinθ-sin(2θ)) = (s，t)
s+t = (√2){2sin(θ +π/4) - sin(2θ +π/4)},
st = (3/2)sin(2θ) - (2-cosθ)sin(3θ) = 2sin(2θ) - 2sin(3θ) + (1/2)sin(4θ), -
接線の性質として
半径の中心と異なる端で，半径に垂直な直線は，この円の接線である。
と書いてあるがこれはどういうこと？
半径の中心と異なる端ってことは、円周か円の中心ってこと？ -
未だ>>5解けないんだけど。これホントに解けるんかな？
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>>93
いや、それは後で間違い指摘されて実際間違ってる。今のところ正解出てないと思う。でもこのスレ解けない問題上がってくる事もあるからその類かもしれないけど。 -
今ふっと思い立ったんだけどもしかして>>23が出題者でその解答が間違ってたのかな？
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f=sin(ax)/axとした時に
?[0,1]fdx / ?[0,1]f^2dx
って求められますか？
教員曰く簡単らしいんですけれど全く無理でした… -
たぶん誤解してる
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>>96
∫f(x)dx = (1/a)∫sin(ax)/x dx = (1/a)Si(ax),
∫{f(x)}^2 dx = ∫{sin(ax)/ax}^2 dx
= - {sin(ax)}^2 /(aax) + (1/a)∫sin(2ax)/x dx
= - {sin(ax)}^2 /(aax) + (1/a)Si(2ax),
にて簡単 -
>>98
で？ -
ででんでん
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